Méthodes de volumes finis pour les lois de convservation hyperboliques non-linéaires posées sur une variété
La première partie de ce travail de thèse est consacrée à l’étude de la méthode de volumes finis pour les lois de conservation hyperboliques sur une variété. Nous étudions tout d’abord une première approche qui nécessite l’existence d’une métrique lorentzienne. Notre résultat principal établit la convergence de schémas de volumes finis du premier ordre pour une large classe de maillages. Ensuite, nous proposons une nouvelle approche basée sur des champs de formes différentielles. Dans ce travail, nous introduisons une nouvelle version de la méthode de volumes finis, qui requiert uniquement la structure de n- forme sur une variété de dimension (n + 1).
La seconde partie porte sur les estimations d’erreur pour la méthode de volumes finis et sur la mise en oeuvre d’un modèle de fluides. Nous considérons tout d’abord les lois de conservation hyperboliques posées sur une variété riemannienne et nous établissons une estimation d’erreur en norme L1 pour une classe de schémas de volumes finis pour l’approximation des solutions entropiques du problème de Cauchy. Nous étudions ensuite les équations hyperboliques posées sur un espace-temps courbe. En imposant que le flux vérifie une propriété naturelle d’invariance de Lorentz, nous identifions une loi de conservation unique à une normalisation près, qui peut être vue comme une version relativiste de l’équation classique de Burgers.
The first part of this thesis is devoted to the study of finite volume methods for conservation laws on manifolds. We study first an approach based on a metric on Lorentzian manifolds. Our main result establishes the convergence of monotone and first-order finite volume schemes for a large class of (space and time) triangulations. Next, we consider another approach based on differential forms. We establish a new version of the finite volume methods which only requires the knowledge of family of n-volume form on an (n + 1)-manifold.
The second part is concerned with error estimates for finite volume methods and the implementation of a model of relativistic compressible fluids. We consider first nonlinear hyperbolic conservation laws posed on a Riemannian manifold, and we establish an L1-error estimate for a class of finite volume schemes allowing for the approximation of entropy solutions to the initial value problem. Next, we consider the hyperbolic balance laws posed on a curved spacetime endowed with a volume form, and, after imposing a natural Lorentz invariance property we identify a unique balance law which can be viewed as a relativistic version of Burgers equation. | 
