Méthodes de volumes finis pour les lois de convservation hyperboliques non-linéaires posées sur une variété
La première partie de ce travail de thèse est consacrée à l’étude de la méthode de volumes finis pour les lois de conservation hyperboliques sur une variété. Nous étudions tout d’abord une première approche qui nécessite l’existence d’une métrique lorentzienne. Notre résultat principal établit la convergence de schémas de volumes finis du premier ordre pour une large classe de maillages. Ensuite, nous proposons une nouvelle approche basée sur des champs de formes différentielles. Dans ce travail, nous introduisons une nouvelle version de la méthode de volumes finis, qui requiert uniquement la structure de n- forme sur une variété de dimension (n + 1).
La seconde partie porte sur les estimations d’erreur pour la méthode de volumes finis et sur la mise en oeuvre d’un modèle de fluides. Nous considérons tout d’abord les lois de conservation hyperboliques posées sur une variété riemannienne et nous établissons une estimation d’erreur en norme L1 pour une classe de schémas de volumes finis pour l’approximation des solutions entropiques du problème de Cauchy. Nous étudions ensuite les équations hyperboliques posées sur un espace-temps courbe. En imposant que le flux vérifie une propriété naturelle d’invariance de Lorentz, nous identifions une loi de conservation unique à une normalisation près, qui peut être vue comme une version relativiste de l’équation classique de Burgers.
The first part of this thesis is devoted to the study of finite volume methods for conservation laws on manifolds. We study first an approach based on a metric on Lorentzian manifolds. Our main result establishes the convergence of monotone and first-order finite volume schemes for a large class of (space and time) triangulations. Next, we consider another approach based on differential forms. We establish a new version of the finite volume methods which only requires the knowledge of family of n-volume form on an (n + 1)-manifold.
The second part is concerned with error estimates for finite volume methods and the implementation of a model of relativistic compressible fluids. We consider first nonlinear hyperbolic conservation laws posed on a Riemannian manifold, and we establish an L1-error estimate for a class of finite volume schemes allowing for the approximation of entropy solutions to the initial value problem. Next, we consider the hyperbolic balance laws posed on a curved spacetime endowed with a volume form, and, after imposing a natural Lorentz invariance property we identify a unique balance law which can be viewed as a relativistic version of Burgers equation.
Table des matières
Introduction 1
1 Méthode de volumes finis sur une variété / 2
1.1 Approche basée sur une métrique / 2
1.2 Approche basée sur des champs de formes différentielles / 9
2 Estimation d’erreur et mise en oeuvre / 13
2.1 Estimation d’erreur sur une variété / 13
2.2 Version relativiste de l’équation de Burgers / 16
I Convergence de la m´ethode de volumes finis sur une variété : deux approches / 23
1 Approche basée sur une métrique / 25
1.1 Introduction / 25
1.2 Conservation laws on a Lorentzian manifold / 27
1.3 Formulation and main result / 29
1.3.1 Definition of the finite volume schemes / 29
1.3.2 Assumptions on the numerical flux / 32
1.3.3 Assumptions on the triangulation and main convergence result / 33
1.4 Examples and remarks on our assumptions / 35
1.4.1 Admissible triangulations and lack of total variation estimate / 35
1.4.2 Foliation by hypersurfaces and choice of triangulations / 36
1.4.3 Choice of flux-functions / 37
1.4.4 A class of examples based on a geometric condition / 38
1.5 Discrete entropy estimates / 39
1.5.1 Local entropy dissipation and entropy inequalities / 39
1.5.2 Entropy dissipation estimate and L1 estimate / 43
1.5.3 Global entropy inequality in space and time / 49
1.6 Proof of convergence / 51
2 Approche basée sur des champs de formes différentielles / 57
2.1 Introduction / 57
2.2 Conservation laws posed on a spacetime / 60
2.2.1 A notion of weak solution / 60
2.2.2 Entropy inequalities / 61
2.2.3 Global hyperbolicity and geometric compatibility / 64
2.3 Finite volume method on a spacetime / 65
2.3.1 Assumptions and formulation / 65
2.3.2 A convex decomposition / 68
2.4 Discrete stability estimates / 70
2.4.1 Entropy inequalities / 70
2.4.2 Global form of the discrete entropy inequalities/ 75
2.5 Convergence and well-posedness results / 77
II Estimation d’erreur et mise en oeuvre / 83
3 Estimation d’erreur pour lesm´ethodes de volumes finis sur une variété / 85
3.1 Introduction and background / 85
3.2 Conservation laws on a manifold / 86
3.2.1 Well-posedness theory / 87
3.3 Statement of the main result / 89
3.3.1 Family of geodesic triangulations / 89
3.3.2 Numerical flux-functions / 90
3.3.3 Main theorem / 91
3.3.4 Discrete entropy inequalities / 92
3.4 Derivation of the error estimate / 95
3.4.1 Fundamental inequality / 95
3.4.2 Dealing with the lack of symmetry / 102
3.4.3 Entropy production for the exact solution / 105
3.5 Entropy production for the approximate solutions / 106
4 Version relativiste de l’équation de Burgers / 115
4.1 Introduction / 115
4.2 The relativistic version of Burgers equation / 116
4.2.1 Derivation of a Lorentz invariant model / 116
4.2.2 Hyperbolicity and convexity properties / 120
4.2.3 The non-relativistic case / 122
4.3 The effect of the geometry / 124
4.3.1 General hyperbolic balance laws / 124
4.3.2 Derivation of a covariant scalar model / 124
4.3.3 Stationary solutions / 125
4.3.4 Relativistic zero-pressure Euler Equations / 126
4.4 Well-balanced finite volume approximation / 127
4.4.1 Geometric formulation / 127
4.4.2 Formulation in local coordinates / 129
4.4.3 Numerical experiments/ 129
Bibliographie / 141
Réesumé / 144
Abstract / 144
THESE DE L’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE – PARIS VI
SPECIALITE MATHEMATIQUES
présentée par
BAVER OKUTMUSTUR
pour l’obtention du titre de
DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´E PIERRE ET MARIE CURIE – PARIS VI
Sujet :
METHODES DE VOLUMES FINIS
POUR LES LOIS DE CONSERVATION HYPERBOLIQUES NON-LINEAIRES
POSEES SUR UNE VARIETE
Soutenue le 6 Juillet 2010 après avis des rapporteurs
M. PHILIPPEHELLUY
M. JIAN-GUO LIU
devant le jury composé de
M. FRANCOIS BOUCHUT
M. PASCAL FREY
M. PHILIPPEHELLUY
M. SIDI-MAHMOUD KABER
M. PHILIPPE LEFLOCH – Directeur de thèse
M. JEROMENOVAK
Laboratoire Jacques-Louis Lions – UMR 7598
Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris VI
